☛ Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur un plan

Énoncé

On se place dans un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) .
Soit \(P\) un plan d'équation cartésienne  \(x+3y+4z-8=0\) . Soit  \(\text A(1~;~2~;~3)\)  un point.

1. Justifier que  \(\text A\notin P\) .

2. Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(d\) passant par \(\text A\) et orthogonale au plan \(P\) .

3. En déduire les coordonnées du point \(\text H\) , projeté orthogonal du point \(\text A\) sur le plan \(P\) .

Solution

1.  \(1+3\times 2+4\times 3-8=1+6+12-8=11\neq 0\) . Donc  \(\text A\notin P\) .

2. La droite \(d\)  passe par  \(\text A(1~;~2~;~3)\)  et est dirigée par  \(\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1\\3\\4\\ \end{pmatrix}\) , vecteur normal au plan \(P\) .. Alors, une représentation paramétrique de  \(d\)  est :  \(\begin{cases} x = 1+t \\ y =2+3t \\ z = 3+4t \\ \end{cases}, t\in\mathbb R\) .

3. On cherche  \(\text H(x~;~y~;~z)\)  tel que  \(\begin{cases} x = 1+t \\ y =2+3t \\ z = 3+4t \\ x+3y+4z-8=0\end{cases}\) ,  \(t\in\mathbb R\) .
On cherche  \(t\)  tel que  \(1+t+3(2+3t)+4(3+4t)-8=0 \Leftrightarrow 11+26t=0 \Leftrightarrow t=-\dfrac{11}{26}\) .
Alors  \(\begin{cases} x = 1-\dfrac{11}{26}=\dfrac{15}{26} \\ y =2-3\times \dfrac{11}{26} =\dfrac{19}{26}\\ z = 3-4\times \dfrac{11}{26}=\dfrac{34}{26}=\dfrac{17}{13}\\ \end{cases}\) . 

Conclusion :  \(\text H\left(\dfrac{15}{26}~;~\dfrac{19}{26}~;~\dfrac{17}{13}\right)\) .